Question

设函数f(x)=

x2+1

-ax，其中a＞0．
（1）解不等式f（x）≤1
（2）求证：当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调函数
（3）求使f（x）＞0对一切x∈R^*恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先通过两边平方将无理不等式转换为一元二次不等式，再解含参数的一元二次不等式，通过讨论参数a的范围得不等式f（x）≤1的解集
（2）当a≥1时，通过证明f′（x）在区间[0，+∞）上恒不大于零，即可证明函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数
（3）f（x）＞0对一切x∈R^*恒成立等价于a＜

x2+1

x

=

1+ 1 x2

对一切x∈R^*恒成立，转化为求函数y=

1+ 1 x2

的下确界，让a比此函数的下确界不大即可

解答：解：（1）

x2+1

-ax≤1⇒

x2+1

≤ax+1⇒(1-a2)x2-2ax≤0
当a=1时，x∈[0，+∞）
当0＜a＜1时，x∈[0，

2a

1-a2

]
当a＞1时，x∈(-∞，

2a

1-a2

]∪[0，+∞)
证明：（2）∵f/(x)=

x

x2+1

-a＜

x

x2

-a=1-a≤0，
∴函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数
解：（3）f（x）＞0即

x2+1

＞ax⇒a＜

x2+1

x

=

1+ 1 x2

∵

1+ 1 x2

∈（1，+∞）
所以 0＜a≤1

点评：本题考察了含参数的一元二次不等式的解法，利用导数证明函数的单调性，以及利用函数解决不等式恒成立问题，解题时要有转化化归的解题思想