题目内容

如图所示，已知α的终边所在直线上的一点P的坐标为（-3，4），β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求sinα、cosβ；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ，求α+β．

解：（Ⅰ）根据三角函数的定义可知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．（3分）
根据 $\text{[math]}$ ，（4分）
又因为β的终边在第一象限，
所以 $\text{[math]}$ ．（5分）

（Ⅱ）法一由（Ⅰ）可得， $\text{[math]}$ ，（6分）
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．（7分）
∵ $\text{[math]}$ ．（10分）
又∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．（12分）

（Ⅱ）法二：由（Ⅰ）可得， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ．（6分）
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．（7分）
$\text{[math]}$ ，（10分）
又∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 舍掉
∴ $\text{[math]}$ ．（12分）
（注：另解中如果没有舍掉 $\text{[math]}$ 或者没有说明理由就舍掉 $\text{[math]}$ ，扣2分）
分析：（Ⅰ）直接根据三角函数的定义，求出sinα、sinβ，然后再求cosβ；
（Ⅱ）法一由（Ⅰ）可得，cosα，求出α+β的正弦值，根据 $\text{[math]}$ ，求出α+β．
法二求出α+β的余弦值，说明α+β的范围，然后求解即可．
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数，两角和与差的正弦函数，考查计算能力，是中档题．