Question

如图所示，已知α的终边所在直线上的一点P的坐标为（-3，4），β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为

2

10

．
（Ⅰ）求sinα、cosβ；
（Ⅱ）若

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，求α+β．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接根据三角函数的定义，求出sinα、sinβ，然后再求cosβ；
（Ⅱ）法一由（Ⅰ）可得，cosα，求出α+β的正弦值，根据

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，求出α+β．
法二求出α+β的余弦值，说明α+β的范围，然后求解即可．

解答：解：（Ⅰ）根据三角函数的定义可知sinα=

4

5

，sinβ=

2

10

．（3分）
根据cos2β+sin2β=1，cos2β=

49

50

，（4分）
又因为β的终边在第一象限，
所以cosβ=

7 2

10

．（5分）

（Ⅱ）法一由（Ⅰ）可得，cosα=-

3

5

，（6分）
∵

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，
∴

π

2

＜α+β＜

3π

2

．（7分）
∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=

4

5

•

7 2

10

-

3

5

•

2

10

=

2

2

．（10分）
又∵

π

2

＜α+β＜

3π

2

，
∴α+β=

3π

4

．（12分）

（Ⅱ）法二：由（Ⅰ）可得，cosα=-

3

5

•sinβ=

2

10

．（6分）
∵

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，
∴

π

2

＜α+β＜

3π

2

．（7分）
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-

2

2

，（10分）
又∵

π

2

＜α+β＜

3π

2

，
∴α+β=

3π

4

或

5π

4

．
∵sinβ=

2

10

＜

2

2

，
∴0＜β＜

π

4

，
∴

π

2

＜α+β＜

5π

4

，α+β=

5π

4

舍掉
∴α+β=

3π

4

．（12分）
（注：另解中如果没有舍掉α+β=

5π

4

或者没有说明理由就舍掉α+β=

5π

4

，扣2分）

点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数，两角和与差的正弦函数，考查计算能力，是中档题．