题目内容
已知椭圆
：
（
）过点
，且椭圆的离心率为
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若动点
在直线
上，过作直线交椭圆于
两点，且为线段
中点，再过作直线
.证明：直线
恒过定点，并求出该定点的坐标.
（Ⅰ）
（Ⅱ）直线恒过定点
解析试题分析：(Ⅰ)点
在椭圆上，将其代入椭圆方程，又因为
，且
，解方程组可得
。（Ⅱ）点在直线上，则可得
。当直线的斜率存在时设斜率为
，得到直线方程，联立方程消掉
得关于
的一元二次方程。再根据韦达定理可得根与系数的关系。因为为中点，根据点的横坐标解得。因为故可得直线的斜率，及其含参数
的方程。分析可得直线是否恒过定点。注意还要再讨论当直线的斜率不存在的情况。
试题解析：解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以
，
所以
， 1分
因为椭圆的离心率为，所以
，即
， 2分
解得
， 4分
所以椭圆的方程为. 5分
（Ⅱ）设，
，
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，
，
，
由
得
， 7分
所以
， 8分
因为为中点，所以
，即
.
所以
， 9分
因为直线，所以
，
所以直线的方程为
，即
，
显然直线恒过定点. 11分
②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线为轴，也过点. 13分
综上所述直线恒过定点. 14
练习册系列答案
相关题目
关于直线
对称（如图（1）），
，
，将此图形沿
折叠成直二面角，连接
、
得到几何体（如图（2））
平面
； 
与平面
的所成角的正切值.
：
的离心率为 
，点
为其下焦点，点
为坐标原点，过
：
（其中
）与椭圆
两点，且满足：
.
表示 
；
，求 
的取值范围.
和
,圆
是以
的圆,点
是圆
的垂直平分线
和半径
所在的直线交于点
.
；
，
是曲线
（
为坐标原点），求实数
的取值范围.
：
经过如下五个点中的三个点：
，
，
，
，
.
为椭圆
为椭圆
的外部，且
的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．
：
的离心率为
且与双曲线
：
有共同焦点.
，求
，过椭圆
作
轴的垂线交
，若
点满足
，
，连结
交
于点
，求证：
.
,椭圆
以
的长轴为短轴,且与
,求直线
的方程.
的直线与曲线M相交于A、B两点. 问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由.