题目内容
设函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与x轴相切于原点，若函数的极小值为-4．（1）求a，b，c，的值；
（2）求函数f（x）的递减区间．
分析：（1）函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程解．
（2）导函数大于0对应区间是单调递增区间；导函数小于0对应区间是单调递减区间．
（2）导函数大于0对应区间是单调递增区间；导函数小于0对应区间是单调递减区间．
解答：解：（1）由题意知f（0）=0
∴c=0
∴f（x）=x3+ax2+bx f'（x）=3x2+2ax+b
又∵f'（x）=b=0
∴f'（x）=3x2+2ax=0
故极小值点为x=-
∴f（-
）=-4
∴a=-3
（2）令f'（x）＜0 即：3x2-6x＜0
解得：0＜x＜2
∴函数的递减区间为（0，2）
∴c=0
∴f（x）=x3+ax2+bx f'（x）=3x2+2ax+b
又∵f'（x）=b=0
∴f'（x）=3x2+2ax=0
故极小值点为x=-
| 2a |
| 3 |
∴f（-
| 2a |
| 3 |
∴a=-3
（2）令f'（x）＜0 即：3x2-6x＜0
解得：0＜x＜2
∴函数的递减区间为（0，2）
点评：本题考查了导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间，要注意从图象中得到有价值的结论，属于基础题．
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