Question

已知函数f（x）=x³-x，其图象记为C，若对于任意非零实数x₁，曲线C与其在点P₁（x₁，f（x₁））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），曲线C与其在点P₂（x₂，f（x₂））处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S₁，S₂，求证：

S1

S2

为定值．

Answer 1

分析：求导数可得切线的方程，由题意可得x₂=-2x₁，同理x₃=-2x₂，由定积分的意义可得S₁和S₂，求比值可得．

解答：解：∵f′（x）=3x²-1，
∴函数f（x）=x³-x图象在点P₁（x₁，f（x₁））处的切线方程为y-（x13-x1）=（3x12-1）（x-x₁），即y=（3x12-1）x-2x13
把上式和y=x³-x联立方程组消y得关于x的方程(x-x1)2(x+2x1)=0，
解之得x=x₁或x=-2x₁，于是x₂=-2x₁，同理x₃=-2x₂．
由题意S₁=|

∫

x2 x1

[(3x12-1)x-2x13-(x3-x)]dx|
=|

∫

x2 x1

(3x12x-2x13-x3)dx|=

27

4

x14，
同理可得S₂=

27

4

x24．再考虑到x₂=-2x₁≠0，
所以

S1

S2

=

1

16

，即

S1

S2

为定值．

点评：本题考查定积分的运算，涉及导数的运算，涉及解方程组的技巧，属中档题．