题目内容

A、B是抛物线C：y²=2px（p＞0）上的两个动点，F是焦点，直线AB不垂直于x轴且交x轴于点D．
（1）若D与F重合，且直线AB的倾斜角为 $数学公式$ ，求证： $数学公式$ 是常数（O是坐标原点）；
（2）若|AF|+|BF|=8，线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6，0），求抛物线C的方程．

解：（1）由题知： $\text{[math]}$ ，直线AB的斜率为1
故直线AB的方程为 $\text{[math]}$
联立 $\text{[math]}$ ，得：y²-2py-p²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 故： $\text{[math]}$ 是常数
（2）由抛物线的定义，易知： $\text{[math]}$
∴x₁+x₂=8-p
∵点Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上∴|QA|=|QB|
即：（x₁-6）²+y₁²=（x₂-6）²+y₂²
又y₁²=2px₁，y₂²=2px₂∴（x₁-6）²+2px₁=（x₂-6）²+2px₂
整理得：（x₁-x₂）（x₁+x₂-12+2p）=0
∵x₁≠x₂∴x₁+x₂-12+2p=0即：x₁+x₂=12-2p=8-p
解得：p=4∴抛物线的方程为y²=8x
分析：（1）由题知： $\text{[math]}$ ，直线AB的斜率为1，直线AB的方程为 $\text{[math]}$ ，联立 $\text{[math]}$ ，得：y²-2py-p²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理能够求出 $\text{[math]}$ 是常数．
（2）由抛物线的定义，知： $\text{[math]}$ ，所以x₁+x₂=8-p．由点Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上，知|QA|=|QB|，由此能求出抛物线的方程．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．