Question

如图，在一条东西方向的海岸线上的点C处有一个原子能研究所，海岸线北侧有一个小岛，岛上建有一个核电站，该岛的一个端点A位于点C的正北方向4

3

km处，另一个端点B位于点A北偏东30°方向，且与点A相距4.5km，研究所拟在点C正东方向海岸线上的P处建立一个核辐射监测站．
（1）设CP=x，∠APB=θ，试将tanθ表示成x的函数；
（2）若要求在监测站P处观察全岛所张的视角最大，问点P应选址何处？

Answer 1

分析：（1）分别以直线CP，CA为x，y轴建立直角坐标系，过点B分别作CP，CA的垂线，垂足为D，E．由题设AB=4.5，AC=4

3

，∠BAE=30°，从而可求出A，B的坐标，又点P（x，0），从而可得tanθ表示成x的函数
（2）令x+4=t，则tanθ=

9 3 t

4t2-41t+400

=

9 3

4(t+ 100 t )-41

(t＞4)，利用基本不等式，可求tanθ的最大值．

解答：解：（1）分别以直线CP，CA为x，y轴建立直角坐标系，过点B分别作CP，CA的垂线，垂足为D，E
由题设AB=4.5，AC=4

3

，∠BAE=30°，则CD=EB=4.5sin30°=

9

4

，AE=4.5×cos30°=

9 3

4

BD=EC=AE+AC=

25 3

4

∴A(0，4

3

)，B(

9

4

，

25 3

4

)
又点P（x，0），则kPA=-

4 3

x

，kPB=-

25 3

4x-9

(x≠

9

4

)
所以当x＞0，且x≠

9

4

时，tanθ=

kPA-kPB

1+kPAkPB

=

9 3 (x+4)

4x2-9x+300

当x=

9

4

时，点P与点D重合，tanθ=tan∠CAD=

CD

AC

=

3 3

16

，满足上式，
所以tanθ=

9 3 (x+4)

4x2-9x+300

(x＞0)
（2）令x+4=t，则tanθ=

9 3 t

4t2-41t+400

=

9 3

4(t+ 100 t )-41

(t＞4)
∵t+

100

t

≥2

t• 100 t

=20，∴tanθ≤

9 3

80-41

=

3 3

13

当且仅当t=

100

t

＞4，即t=10
∴x=6时取等号，此时tanθ取最大值

3 3

13

，θ取最大值．
答：点P应选址在点C正东方向6km处．

点评：本题以实际问题为载体，考查三角函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是正确运用差角的正切公式及基本不等式．