题目内容
【题目】已知函数,设直线
分别是曲线
的两条不同的切线;
(1)若函数为奇函数,且当
时,
有极小值为-4;
(i)求的值;
(ii)若直线亦与曲线
相切,且三条不同的直线
交于点
,求实数m的取值范围;
(2)若直线,直线
与曲线
切于点B且交曲线
于点D,直线
与曲线
切于点C且交曲线
于点A,记点
的横坐标分别为
,求
的值.
【答案】(1)
;
; (2)
.
【解析】
(1)根据奇函数
和
求得
;又
,求得
和
;
假设切点和切线方程,根据极大值点为
可确定一条切线为
;将
代入切线方程可得:
和
,从而可得
的两根为
,构造函数
,结合
图像求得
的范围;(2)根据
可得
,从而
;将切线代入
求解出
,从而得到
.
(1)
是奇函数,且
且
,即
而当时有极小值
经检验满足题意,则
设
是曲线
上的一点
由知:
,
过
点的切线方程为:
消去
由此切线方程形式可知:过某一点的切线最多有三条;
又由奇函数性质可知:点是极大值点
从而是一条切线且过点
再设另两条切线的切点为、
,其中
则可令切线,
将代入
的方程中
化简可得:且
从而有:且
是方程
的两根
构造函数:
由得:
或
而,
,结合图象:
可得:实数的取值范围是:
(2)令,
;由
及
可得:
而,化简可得:
,即
将切线的方程
代入
中并化简得:
,即
;同理:
则,
,
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