题目内容

给出下列命题:
①若平面α上的直线a与平面β上的直线b互为异面直线,c是α与β的交线,那么c至多与a、b中的一条相交;
②若直线a与b异面,过不在直线a、b上一点A可作一条与a和b都相交的直线;
③若直线a与b异面,则存在唯一 一个过a的平面α与b平行.
其中正确的命题为(  )
分析:画出图形判断①的正误;通过反例判断②的正误;利用直线与平面平行关系判断③的正误.
解答:解:对于①,平面α上的直线a与平面β上的直线b互为异面直线,如图,c是α与β的交线,那么c至多与a、b中的一条相交;c与a、b都相交;故命题①不正确;
对于②,若直线a与b异面,过不在直线a、b上一点A可作一条与a和b都相交的直线,例如正方体中,上下底面的异面直线,在上底面取步骤异面直线上的点,不存在满足②的直线.所以②不正确.
对于③,假设过直线a有两个平面α、β与直线b平行,则面α、β相交于直线a,过直线b做一平面γ与面α、β相交于两条直线m、n,则直线m、n相交于一点,且都与直线b平行,这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾,所以假设不成立,所以③正确.
故选C.
点评:本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系的判断,异面直线的应用,考查逻辑推理能力.
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