Question

（本小题满分12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，
AB=，AF=1，M是线段EF的中点。
(Ⅰ)求证：AM∥平面BDE；
(Ⅱ) 求二面角A－DF－B的大小.
（Ⅲ）试问：在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°？

Answer 1

解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,             1分
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，                     2分
∴AM∥OE.                                      
∵平面BDE， 平面BDE，            4分
∴AM∥平面BDE.                           
(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，
∵AB⊥AF， AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADF，                              6分
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂线定理得BS⊥DF.
∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。           
在RtΔASB中，
∴                   
∴二面角A—DF—B的大小为60º.                8分
（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，
∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，
∴PQ⊥平面ABF，QF平面ABF，            
∴PQ⊥QF.                                    9分 
在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ.
∵ΔPAQ为等腰直角三角形，
∴                          10分
又∵ΔPAF为直角三角形，
∴，
∴                 
所以t=1或t=3(舍去)
即点P是AC的中点.                           12分
方法二（ 仿上给分）
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。

设，连接NE，
则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,

又点A、M的坐标分别是
（）、（

∴NE∥AM.
又∵平面BDE， 平面BDE，
∴AM∥平面BDF.
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF
∴AB⊥平面ADF.

即所求二面角A—DF—B的大小是60º.
（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得

又∵PF和AD所成的角是60º.
∴
解得或（舍去），
即点P是AC的中点.

解析