题目内容

为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．
（1）求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式；
（2）求博物馆支付总费用的最小值；
（3）（理）如果要求保护罩可以选择正四棱锥或者正四棱柱形状，且保护罩底面（不计厚度）正方形边长不得少于1.1米，高规定为2米．当博物馆需支付的总费用不超过8千元时，求保护罩底面积的最小值（结果保留一位小数）．

解：：（1） $\text{[math]}$ （或 $\text{[math]}$ ）（V＞0.5）
（2） $\text{[math]}$
当且仅当 $\text{[math]}$ ，即V=4立方米时不等式取得等号
所以，博物馆支付总费用的最小值为7500元．
（3）（理）解法1：由题意得不等式： $\text{[math]}$
当保护罩为正四棱锥形状时， $\text{[math]}$ ，代入整理得：4S²-51S+144≤0，解得 $\text{[math]}$ ；
当保护罩为正四棱柱形状时，V=2S，代入整理得：4S²-17S+16≤0，解得 $\text{[math]}$
又底面正方形面积最小不得少于1.1×1.1=1.21，所以，底面正方形的面积最小可取1.4平方米
解法2．解方程 $\text{[math]}$ ，即V²-8.5V+16=0得两个根为V₁=2.814，V₂=5.686
由于函数 $\text{[math]}$ 在（0，4]上递减，在[4，+∞）上递增，所以当V＜V₁时，总费用超过8000元，所以V取得最小值V₁
由于保护罩的高固定为2米，
所以对于相等体积的正四棱锥与正四棱柱，正四棱柱的底面积是正四棱锥底面积的 $\text{[math]}$ ．
所以当保护罩为正四棱柱时，保护罩底面积最小， $\text{[math]}$ m²
又底面正方形面积最小不得少于1.1×1.1=1.21，1.21＜1.4，
所以，底面正方形的面积最小可取1.4平方米
解法3．解 $\text{[math]}$
得 $\text{[math]}$
又底面正方形面积最小不得少于1.1×1.1=1.21，当保护罩为正四棱锥形状时， $\text{[math]}$ ；
当保护罩为正四棱柱形状时，V=2S≥2.42．
所以，保护罩容积可取最小V=2.8立方米，当形状为棱柱时底面正方形的面积最小，为1.4平方米

分析：（1）由需要支付的总费用由两部分组成，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元，可求比例系数，从而可求支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式；
（2）由（1）得： $\text{[math]}$ 利用基本不等式可求出当且仅当 $\text{[math]}$ ，博物馆支付总费用的最小值；
（3）法1：由题意得不等式： $\text{[math]}$ ，分别求出当保护罩为正四棱锥形状时，当保护罩为正四棱柱形状时，最后根据底面正方形面积最小不得少于1.1×1.1=1.21，得出底面正方形的面积最小可取1.4平方米；
法2：先解方程 $\text{[math]}$ ，利用函数 $\text{[math]}$ 的单调性求得底面正方形的面积最小可取1.4平方米；
法3：利用基本不等式可求最值，注意等号成立的条件．
点评：本题主要考查函数模型的建立及最值问题的研究，应注意基本不等式成立的条件．