Question

为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的：？罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用1千元；？需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．
（1）求需支付的保险费用ω与保护罩容积V之间的函数关系式；
（2）求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式；
（3）求博物馆支付总费用的最小值．

Answer 1

分析：（1）由支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元，可求比例系数，从而可求ω与V之间的函数关系式；
（2）利用总费用由两部分组成可建立函数关系式．罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用1千元，则其费用为1000（V-0.5），结合（1）可得函数关系式；
（3）利用基本不等式可求最值，注意等号成立的条件．

解答：解：（1）设ω=

k

V

，∵8000=

k

2

，∴k=16000，∴ω=

16000

V

（1）由于罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用1千元，则其费用为1000（V-0.5），所以总费用为y=1000(V-0.5)+

16000

V

=1000V+

16000

V

-500（V＞0.5）
（3）y=1000V+

16000

V

-500≥7500，当且仅当1000V=

16000

V

，即V=4立方米时不等式取得等号
答：博物馆支付总费用的最小值为7500元．

点评：本题主要考查函数模型的建立及最值问题的研究，应注意基本不等式成立的条件．