Question

【题目】已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1 ， a3 ， a7成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设Tn为数列{ }的前n项和，若Tn≤λan+1对n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

【答案】解：（I）设公差为d，由已知得： ， 即 ，
解得：d=1或d=0（舍去），
∴a1=2，
故an=2+（n﹣1）=n+1；
（II）∵ = ，
∴Tn= ，
∵Tn≤λan+1对n∈N*恒成立，即 ≤λ（n+2），λ≥ n∈N*恒成立，
又 = ，
∴λ的最小值为 ．
【解析】（I）设出此等差数列的公差为d，根据等差数列的前n项和公式化简S4=14得到关于首项和公差的关系式，又a1 ， a3 ， a7成等比数列，根据等比数列的性质得到关于首项和公差的另一关系式，两关系式联立即可求出首项和公差，根据首项和公差写出等差数列{an}的通项公式即可；（II）把（I）中求出的数列{an}的通项公式代入数列中，根据 ，列举出数列的前n项和的每一项，抵消后得到Tn的通项公式，将求出的Tn的通项公式和an+1的通项公式代入已知的不等式中，解出λ大于等于一个关系式，利用基本不等式求出这个关系式的最大值，即可得到实数λ的最小值．