题目内容
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P是平面ABCD上的动点，点M在棱AB上，且AM=
，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为4，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆
B．抛物线
C．双曲线
D．直线
【答案】分析：作PQ⊥AD，作QR⊥D1A1，PR即为点P到直线A1D1的距离，由勾股定理得 PR2-PQ2=RQ2=4，又已知PR2-PM2=4，PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离．
解答：
解：如图所示：正方体ABCD-A1B1C1D1中，作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面ADD1A1，过点Q作QR⊥D1A1，
则D1A1⊥面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离，由题意可得 PR2-PQ2=RQ2=4．
又已知 PR2-PM2=4，
∴PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，
故选 B．
点评：本题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结合的数学思想，得到PM=PQ是解题的关键．
解答：
解：如图所示：正方体ABCD-A1B1C1D1中，作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面ADD1A1，过点Q作QR⊥D1A1，则D1A1⊥面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离，由题意可得 PR2-PQ2=RQ2=4．
又已知 PR2-PM2=4，
∴PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，
故选 B．
点评：本题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结合的数学思想，得到PM=PQ是解题的关键．
练习册系列答案
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