Question

（1）指出下列两个函数的奇偶性①；②y=x²-3|x|+2
（2）已知函数f（x）=-x²+mx-2是偶函数，求m的值；
（3）已知函数g（x）=ax³-bx+3，且g（-2）=5，求g（2）的值．

Answer 1

解：（1）∵的定义域是{x|x≠0}，f（-x）=-x-=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数；
∵y=x²-3|x|+2的定义域是R，且有（-x）²-3|-x|+2=x²-3|x|+2，
∴此函数是偶函数．
（2）∵函数f（x）=-x²+mx-2是偶函数，∴f（1）=f（-1），
即-1+m-2=-1-m-2，解得m=0．
（3）∵函数h（x）=ax³-bx的定义域是R，且h（-x）=-ax³+bx=-h（x），
∴函数h（x）是奇函数，则h（2）=-h（-2），
∵g（2）=h（2）+3 ①，g（-2）=h（-2）+3=5 ②，
∴①+②得，g（2）=1．
分析：（1）先求函数的定义域，再求出f（-x）和f（x）的关系，根据奇（偶）函数的定义判断；
（2）根据偶函数的定义知f（1）=f（-1），代入解析式求出m的值；
（3）令h（x）=ax³-bx判断出是奇函数，列出g（2）和g（-2）的方程，根据题意和奇函数的关系式求出g（2）的值．
点评：本题的考点是函数奇偶性的判断和应用，由定义判断函数奇偶性必须先求出定义域，对于利用奇偶性求值，即利用关系式“f（x）=f（-x）”“f（x）=-f（-x）”求函数值．