Question

已知函数f（x）=-a²x²+ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）我们称使f（x）=0成立的x为函数的零点．证明：当a=1时，函数f（x）只有一个零点；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）欲证明当a=1时，函数f（x）只有一个零点，只须证明f（x）在（0，1）为增函数即可，最后只须证明f′（x）＞0即可；
（II）先求出原函数的导数，再根据函数f（x）在（1，+∞）上为单调函数，将原问题转化为f′（x）≤0在（1，+∞）恒成立问题，列出关于a的不等关系解之即得．

解答：（Ⅰ）证明：∵f′(x)=-

(2x+1)(x-1)

x

(x＞0)f（x）在（0，1）为增函数，
在（1，+∞）上为减函数．∴f（x）的最大值为f（1）=0，
∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点．（4分）
（Ⅱ）解：∵f′(x)=-

2a2x2-ax-1

x

=-

(2ax+1)(ax-1)

x

①当a=0时，不成立．
②当a＞0时，f'（x）＜0，得x＞

1

a

，∴

1

a

≤1，a≥1．
③当a＜0时，f'（x）＜0，得x＞-

1

2a

，∴-

1

2a

≤1，a≤-

1

2

综上得：a∈(-∞，-

1

2

]∪[1，+∞)（12分）

点评：本小题主要考查函数利用导数研究函数的单调性、函数零点的判定定理、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．