Question

已知函数f(x)=aln(x+1)-

2x

x+1

+b的图象与直线x+y-2=0相切于点（0，c）．
求：
（1）实数a的值；
（2）函数f（x）的单调区间和极小值．

Answer 1

分析：（1）由f′(x)=

a

x+1

-

2

(x+1)2

和f（x）在x=0处的切线方程为y=-x+2，能求出a．
（2）由点（0，c）在直线x+y-2=0上，推导出c=2，由点（0，2）在f(x)=aln(x+1)-

2x

x+1

+b的图象上，推导出b=2，由此能求出函数f（x）的单调区间和极小值．

解答：解：（1）∵f(x)=aln(x+1)-

2x

x+1

+b，
∴f′(x)=

a

x+1

-

2

(x+1)2

∵f（x）在x=0处的切线方程为y=-x+2，
∴f'（0）=a-2=-1，即a=1
（2）∵点（0，c）在直线x+y-2=0上，
∴c-2=0，即c=2，
∵点（0，2）在f(x)=aln(x+1)-

2x

x+1

+b的图象上，
∴f（0）=b=2，
∴f(x)=ln(x+1)-

2x

x+1

+2(x＞-1)
由（1）得：f′(x)=

1

x+1

-

2

(x+1)2

=

x-1

(x+1)2

(x＞-1)
当f'（x）＞0时，得x＞1；当f'（x）＜0时，得-1＜x＜1，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，
∴当x=1时，f（x）有极小值f（1）=1+ln2．

点评：本题考查实数值的求法，考查函数的单调区间和极小值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和等价转化思想的合理运用．