题目内容
已知
=(cosx+
sinx，1)，
=(2cosx，-y)，满足
•
=0．
（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；
（2）已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(
)=3，且a=2，求△ABC面积的最大值．
| m |
| 3 |
| n |
| m |
| n |
（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；
（2）已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(
| A |
| 2 |
分析：（1）利用两个向量的数量积公式及三角函数的恒等变换，根据
•
=0求得f(x)=2sin(2x+
)+1，令2x+
∈[2kπ-
，2kπ+
]，求得x的范围，即可求出f（x）的单调递增区间．
（2）由f(
)=3求得A=
，在△ABC中由余弦定理和基本不等式可得bc≤4，再由S△ABC=
bcsinA求出它的最大值．
| m |
| n |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
（2）由f(
| A |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）∵
•
=2cos2x+2
sinxcosx-y=
sin2x+cos2x+1-y=2sin(2x+
)+1-y=0，所以f(x)=2sin(2x+
)+1．…（3分）
令2x+
∈[2kπ-
，2kπ+
]，得x∈[kπ-
，kπ+
]，(k∈Z)，故f（x）的单调递增区间是[kπ-
，kπ+
]，(k∈Z)．…（6分）
（2）∵f(
)=2sin(A+
)+1=3，∴sin(A+
)=1，又A+
∈(
，
)，∴A+
=
，∴A=
．…（8分）
在△ABC中由余弦定理有，a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=4≥2bc-bc=bc，
可知bc≤4（当且仅当b=c时取等号），∴S△ABC=
bcsinA≤
•4•
=
，
即△ABC面积的最大值为
．…（12分）
| m |
| n |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
令2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）∵f(
| A |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
在△ABC中由余弦定理有，a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=4≥2bc-bc=bc，
可知bc≤4（当且仅当b=c时取等号），∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
即△ABC面积的最大值为
| 3 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理的应用，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．
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