Question

（2012•韶关一模）如图所示，圆柱的高为2，底面半径为

7

，AE、DF是圆柱的两条母线，过AD作圆柱的截面交下底面于BC．
（1）求证：BC∥EF；
（2）若四边形ABCD是正方形，求证BC⊥BE；
（3）在（2）的条件下，求四棱锥A-BCE的体积．

Answer 1

分析：（1）在圆柱中：由上底面∥下底面，知BC∥AD，由AE、DF是圆柱的两条母线，知ADFE是平行四边形，由此能够证明BC∥EF．
（2）由AE是圆柱的母线，知AE⊥下底面，由BC?下底面，知AE⊥BC．由此入手能够证明BC⊥BE．
（3）因为母线AE垂直于底面，所以AE是三棱锥A-BCE的高，EO就是四棱锥E-ABCD的高．设正方形ABCD的边长为x，则AB=EF=x，BE=

AB2-AE2

=

x2-4

，由此利用题设条件，能够求出四棱锥A-BCE的体积．

解答：（本题满分14分）
（1）证明：在圆柱中：∵上底面∥下底面，
且上底面∩截面ABCD=AD，下底面∩截面ABCD=BC，
∴BC∥AD…．（2分）
又∵AE、DF是圆柱的两条母线，
∴AE

∥ .

.

DF，∴ADFE是平行四边形，
所以AD∥EF，又BC∥AD
∴BC∥EF…．（5分）
（2）∵AE是圆柱的母线，
∴AE⊥下底面，又BC?下底面，∴AE⊥BC…．（7分）
又∵截面ABCD是正方形，所以BC⊥AB，
又AB∩AE=A，∴BC⊥面ABE，
又BE?面ABE，
∴BC⊥BE…（9分）
（3）因为母线AE垂直于底面，
所以AE是三棱锥A-BCE的高…（10分），
EO就是四棱锥E-ABCD的高…（10分）
设正方形ABCD的边长为x，则AB=EF=x，
BE=

AB2-AE2

=

x2-4

又∵BC∥EF，且BC⊥BE，∴EF⊥BE，
∴BF为直径，即BF=2

7

在Rt△BEF中，BF²=BE²+EF²
即(2

7

)2=x2+x2-4⇒x=4，
∴S_ABCD=4×4=16，…（12分）
EO=

AE•BE

AB

=

2× 42-4

4

=

3

，
∴VE-ABCD=

1

3

•OE•SABCD=

1

3

×

3

×16=

16 3

3

．
∴四棱锥A-BCE的体积=

1

2

VE-ABCD=

1

2

×

16 3

3

=

8 3

3

．…（14分）

点评：本题考查直线平行和直线垂直的证明，考查棱锥的体积的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．