题目内容

是否存在实数a，使函数f（x）=log_a（ax²-x）在区间[2，4]上是增函数？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

分析：设u（x）=ax²-x，显然二次函数u的对称轴为x=

．分当a＞1时和当0＜a＜1 两种情况，分别利用二次
函数的性质、复合函数的单调性、以及对数函数的定义域，求得a的范围，综合可得结论．

解答：解：设u（x）=ax²-x，显然二次函数u的对称轴为x=

．
①当a＞1时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，则u（x）=ax²-x 在[2，4]上为增函数，
故应有

≤2

u(2)=4a-2＞0

，解得 a＞

．…（6分）
综合可得，a＞1．…（7分）
②当0＜a＜1 时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，则u（x）=ax²-x 在[2，4]上为减函数，
应有

≥4

u(4)=16a-4＞0

，解得a∈∅．…（14分）
综上，a＞1时，函数f（x）=log_a（ax²-x）在区间[2，4]上为增函数．…（16分）

点评：本题主要考查复合函数的单调性，体现了分了讨论、转化的数学思想，属于中档题．

练习册系列答案

课课练与单元测试系列答案

给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x₀，都有函数值f（x₀）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．
（1）若定义域D₁=（0，1），判断下列函数中哪些在D₁上封闭，且给出推理过程f₁（x）=2x-1，f₂（x）= $数学公式$ ，f₃（x）=2^x-1，f₄（x）=cosx．；
（2）若定义域D₂=（1，2），是否存在实数a使函数f（x）= $数学公式$ 在D₂上封闭，若存在，求出a的值，并给出证明，若不存在，说明理由．

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