Question

【题目】某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x）万元，当年产量不足80千件时，C（x）＝x2＋10x（万元）；当年产量不少于80千件时，C（x）＝51x＋－1 450（万元）．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．

（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

Answer 1

【答案】（1）；

（2）产量为100千件时，所获利润最大．

【解析】

试题分析：（1）分两种情况进行研究：当时，投入的成本为万元），根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，当时，投入成本为 （万元），根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当时，利用二次函数求最值；当时，利用基本不等式求解最值，最后比较两个最值，即可得到结论．

试题解析：（1）当0<x<80，x∈N*时，

L（x）＝－x2－10x－250＝－x2＋40x－250；

当x≥80，x∈N*时，

L（x）＝－51x－＋1 450－250＝1 200－（x＋），

∴

（2）当0<x<80，x∈N*时，L（x）＝－（x－60）2＋950，

∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950．

当x≥80，x∈N*时，L（x）＝1 200－（x＋），

∴当x＝，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1 000>950．

综上所述，当x＝100时，L（x）取得最大值1 000，

即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．