题目内容
已知F是椭圆的左焦点,A是椭圆短轴上的一个顶点,椭圆的离心率为,点B在x轴上,AB⊥AF,A,B,F三点确定的圆C恰好与直线相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在过F作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于M,N两点,P为线段MN的中点,设O为椭圆中心,射线OP交椭圆于点Q,若,若存在求k的值,若不存在则说明理由.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在过F作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于M,N两点,P为线段MN的中点,设O为椭圆中心,射线OP交椭圆于点Q,若,若存在求k的值,若不存在则说明理由.
解:(Ⅰ)∵椭圆的离心率为,
∴,
∴
∴,
∵AB⊥AF,
∴∴AB的方程为:
令y=0,∴,∴
∴A,B,F三点确定的圆的圆心坐标为,半径为r=a
∴圆心到直线的距离为,
∵A,B,F三点确定的圆C恰好与直线相切.
∴∴a=2,∴
∴椭圆的方程为;
(Ⅱ)假设存在,设直线l的方程为:y=k(x+1)代入椭圆的方程,
消去y可得(3+4k2)x2+8k2x+(4k2﹣12)=0
设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0),
则,
∵P为线段MN的中点,
∴
∴
∵,
∴
∴
∵射线OP交椭圆于点Q
∴
∴
∴64k4+48k2=4(16k4+24k2+9)
∴48k2=96k2+36
∴﹣48k2=36
此方程无解,∴k不存在.
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