题目内容
设是函数
的一个极值点。
(Ⅰ)、求与
的关系式(用
表示
),并求
的单调区间;
(Ⅱ)、设,
。若存在
使得
成立,求
的取值范围。
点评:本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力。
解:(Ⅰ)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x,
由=0,得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3=0,即得b=-3-2a,
则 =[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x
=-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x
=-(x-3)(x+a+1)e3-x.
令=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,
所以x+a+1≠0,那么a≠-4.
当a<-4时,x2>3=x1,则
在区间(-∞,3)上,<0,
为减函数;
在区间(3,a1)上,>0,
为增函数;
在区间(a1,+∞)上,<0,
为减函数。
当a>-4时,x2<3=x1,则
在区间(-∞,a1)上,<0,
为减函数;
在区间(a1,3)上,>0,
为增函数;
在区间(3,+∞)上,<0,
为减函数。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么
在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)],
而f (0)=-(2a+3)e3<0,f (4)=(2a+13)e-1>0,f (3)=a+6,
那么在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].
又在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是,
由于,所以只须仅须
且a>0,解得
.
故a的取值范围是。

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