Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）设b_n=

an

2n-1

．证明：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2a_n+2ⁿ构造可得

an

2n-1

-

an-1

2n-2

= 1即数列{b_n}为等差数列
（2）由（1）可求

an

2n-1

=n，从而可得a_n=n•2^n-1 利用错位相减求数列{a_n}的和

解答：解：由a_n+1=2a_n+2ⁿ．两边同除以2ⁿ得

an+1

2n

=

an

2n-1

+1
∴

an+1

2n

-

an

2n-1

=1，即b_n+1-b_n=1
∴{b_n}以1为首项，1为公差的等差数列
（2）由（1）得

an

2n-1

=1+(n-1)×1=n
∴a_n=n•2^n-1
S_n=2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1
2S_n=2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴-S_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

- n•2n=(1-n)•2n-1
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1

点评：本题考查利用构造法构造特殊的等差等比数列及错位相减求数列的和，构造法求数列的通项及错位相减求数列的和是数列部分的重点及热点，要注意该方法的掌握．