Question

（2011•南汇区二模）函数f(x)=

ax2+bx+c

的图象关于任意直线l对称后的图象依然为某函数图象，则实数a，b，c应满足的充要条件为

a＜0，b²-4ac=0

．

Answer 1

分析：函数关于任意直线l对称后的图象依然为某函数图象，根据函数的定义中，象的唯一性，我们可得不论函数f(x)=

ax2+bx+c

的图象怎么变换，函数图象均不会与平行于y轴的直线有两个或两个以上的交点，则函数的图象必然是一个点，再结合函数y=ax²+bx+c的性质，我们易得当且仅当ax²+bx+c∈{0}时，满足要求，进而即可求出f（x）中a，b，c应满足a＜0，b²-4ac=0．

解答：解：∵函数 f（x）=ax²+bx+c的图象关于任意直线l对称后的图象依然为某函数图象
则函数图象必是一个点
结合函数y=ax²+bx+c的性质
当且仅当y=0时，有且只有一个x与之对应
故只有ax²+bx+c=0时，满足要求．故ax²+bx+c≤0在R上恒成立，所以a＜0，b²-4ac=0
故答案为；a＜0，b²-4ac=0．

点评：本题考查的知识点是函数的定义，理解函数的概念，并由此根据函数的图象关于任意直线l对称后的图象依然为某函数图象，得到函数f(x)=

ax2+bx+c

的图象必为一个点，是解答本题的关键．