Question

今有甲、乙两个篮球队进行比赛，比赛采用7局4胜制．假设甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率都是

1

2

．并记需要比赛的场数为X．
（Ⅰ）求X大于5的概率；
（Ⅱ）求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意可知，X的可能取值最小为4．当X=4时，整个比赛只需比赛4场即结束，这意味着甲连胜4场，或乙连胜4场，可得X=4的概率；当X=5时，需要比赛5场整个比赛结束，意味着甲在第5场获胜，前4场中有3场获胜，或者乙在第5场获胜，前4场中有3场获胜．可得X=5的概率，从而得出X大于5的概率．
（II）由于X的可能取值为4，5，6，7，可得X的分布列，由公式即可得出篮球队在6场比赛中需要比赛的场数为X的期望．

解答：解：（Ⅰ）依题意可知，X的可能取值最小为4．
当X=4时，整个比赛只需比赛4场即结束，这意味着甲连胜4场，或乙连胜4场，
可得P(X=4)=2×(

1

2

)4×(

1

2

)0=

1

8

．
当X=5时，需要比赛5场整个比赛结束，意味着甲在第5场获胜，前4场中有3场获胜，或者乙在第5场获胜，前4场中有3场获胜．
可得P(X=5)=2×[

C

3 4

×(

1

2

)3×

1

2

]×

1

2

=

1

4

．
所以P(X＞5)=1-

1

8

-

1

4

=

5

8

． 　　　　　　　　　　　　　
（Ⅱ）X的可能取值为4，5，6，7，可得P(X=6)=2×[

C

3 5

×(

1

2

)3×(

1

2

)2]×

1

2

=

5

16

；P(X=7)=2×[

C

3 6

×(

1

2

)3×(

1

2

)3]×

1

2

=

5

16

．
所以X的分布列为：

X	4	5	6	7
P	1 8	1 4	5 16	5 16

X的数学期望为：EX=4×

1

8

+5×

1

4

+6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

．

点评：本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，考查根据所给的事件类型选择概率模型的方法，以及用概率模型求概率与期望的能力．