题目内容
15．已知三棱柱ABC=A1B1C1的侧棱BB1⊥底面ABC，其侧视图与俯视图如图所示，AB=BC且AB⊥BC，M，N分别是A1B，A1C1的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1；
（2）求三棱锥B-A1B1N的体积．
分析 （1）连接BC1，利用三角形的中位线定理可得：MN∥BC1，再利用线面平行的判定定理可得：MN∥平面BCC1B1；
（2）由侧视图与俯视图可知：BB1=2，B1N=1，再利用等腰直角三角形的性质可得：A1C1=2=2A1N．B1N⊥A1C1．利用三棱锥B-A1B1N的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}N}$×BB1即可得出．
解答 （1）证明：连接BC1，
∵M，N分别是A1B，A1C1的中点．
∴MN∥BC1，
又MN?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1；
∴MN∥平面BCC1B1；
（2）解：由侧视图与俯视图可知：BB1=2，B1N=1，
∵A1B1=B1C1且A1B1⊥B1C1，N是A1C1的中点，
∴A1C1=2=2A1N．B1N⊥A1C1．
∴三棱锥B-A1B1N的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}N}$×BB1=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1$×2=$\frac{1}{3}$．
点评 本题考查了三角形的中位线定理、线面平行与垂直的判定性质定理、三视图的性质、等腰直角三角形的性质、三棱锥体积计算公式、三棱柱的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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