Question

12．已知S_n=（1×$\frac{1}{2}$）+（3×$\frac{1}{{2}^{2}}$）+（5×$\frac{1}{{2}^{3}}$）+…+[（2n-1）×$\frac{1}{{2}^{n}}$]，求S_n．

Answer 1

分析 利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：S_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}+\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．