Question

（2009•宝山区一模）已知点F₁，F₂是双曲线M：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右焦点，其渐近线为y=±

3

x，且右顶点到左焦点的距离为3．
（1）求双曲线M的方程；
（2）过F₂的直线l与M相交于A、B两点，直线l的法向量为

n

=(k，-1)，(k＞0)，且

OA

•

OB

=0，求k的值；
（3）在（2）的条件下，若双曲线M在第四象限的部分存在一点C满足

OA

+

OB

=m

F2C

，求m的值及△ABC的面积S_△ABC．

Answer 1

分析：（1）由渐近线为y=±

3

x，且右顶点到左焦点的距离为3，得到a=1，b=

3

，c=2，由此能求出双曲线方程．
（2）直线l的方程为y=k（x-2），由

x2- y2 3 =1 y=k(x-2)

得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0，再由韦达定理和平面向量知识能够得到k．
（3）把 k=

3 5

代入（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0，得4x²+4x-9=0，此时

x1+x2=-1 x1•x2=- 9 4

，所以|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]

=4．由此入手能求出m的值及△ABC的面积S_△ABC．

解答：解：（1）∵渐近线为y=±

3

x，且右顶点到左焦点的距离为3．
∴a=1，b=

3

，c=2，
∴双曲线方程为：x2-

y2

3

=1．…（4分）
（2）直线l的方程为y=k（x-2），由

x2- y2 3 =1 y=k(x-2)

得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0（*）
所以

x1+x2=- 4k2 3-k2 x1•x2=- 4k2+3 3-k2

…（6分）
由

OA

•

OB

=0得x₁•x₂+y₁•y₂=0
即（1+k²）x₁•x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²=0
代入化简，并解得k=±

3 5

（舍去负值），
∴k=

3 5

．…（9分）
（3）把 k=

3 5

代入（*）并化简得4x²+4x-9=0，
此时

x1+x2=-1 x1•x2=- 9 4

，
所以|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]

=4…（11分）
设C（x₀，y₀），由

OA

+

OB

=m

F2C

得

x0=2- 1 m y0=- 15 m

代入双曲线M的方程解得m=-

3

2

（舍），m=2，所以C(

3

2

，-

15

2

)，…（14分）
点C到直线AB的距离为d=

3 2

，
所以S△ABC=

1

2

d•|AB|=

6

．…（16分）

点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．