题目内容
已知F2(-2,0),F2(2,0),点P满足||PF1|-|PF2||=2,记点P的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程;
(2)若过点F2的直线l交轨迹E于P、Q两不同点.设点M(-1,0),问:当直线l绕点F2转动的时候,是否都有
•
=0?请说明理由.
解:(1)∵F2(-2,0),F2(2,0),点P满足||PF1|-|PF2||=2,
∴c=2,a=1,b2=3,
∴点P的轨迹E的方程为:
.
(2)①若l的斜率存在,设l的方程为:y=k(x-2),
由
,消y得:(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,
∵l与曲线交于不同点P,Q,
∴
,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
,
,
,
∵M(-1,0),
∴
=(k2+1)x1x2-(2k2-1)(x1+x2)+1+4k2=0.
②若直线l的斜率存在,则P(2,3),Q(2,-3),M(-1,0),
∴
成立,
故当直线l绕点F2旋转时,均有
.
分析:(1)由F2(-2,0),F2(2,0),点P满足||PF1|-|PF2||=2,知c=2,a=1,b2=3,由此能求出点P的轨迹E的方程.
(2)若l的斜率存在,设l的方程为:y=k(x-2),由
,得:(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,由l与曲线交于不同点P,Q,知
,由此入手导出
;若直线l的斜率存在,则P(2,3),Q(2,-3),M(-1,0),故
成立.所以当直线l绕点F2旋转时,均有
得到结论.
点评:本题考查轨迹方程的求法,探索当直线绕点转动的时候,是否都有向量的数量积为零.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
∴c=2,a=1,b2=3,
∴点P的轨迹E的方程为:
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(2)①若l的斜率存在,设l的方程为:y=k(x-2),
由
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∵l与曲线交于不同点P,Q,
∴
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设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
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∵M(-1,0),
∴
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=(k2+1)x1x2-(2k2-1)(x1+x2)+1+4k2=0.
②若直线l的斜率存在,则P(2,3),Q(2,-3),M(-1,0),
∴
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故当直线l绕点F2旋转时,均有
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分析:(1)由F2(-2,0),F2(2,0),点P满足||PF1|-|PF2||=2,知c=2,a=1,b2=3,由此能求出点P的轨迹E的方程.
(2)若l的斜率存在,设l的方程为:y=k(x-2),由
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点评:本题考查轨迹方程的求法,探索当直线绕点转动的时候,是否都有向量的数量积为零.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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