Question

已知F₂（-2，0），F₂（2，0），点P满足||PF₁|-|PF₂||=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若过点F₂的直线l交轨迹E于P、Q两不同点．设点M（m，0），问：是否存在实数m，使得直线l绕点若过点F₂的直线l交轨迹E于P、Q两不同点．设点M（m，0），问：无论怎样转动，都有

MP

•

MQ

=0成立？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由条件知，点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹E的方程即可．
（2）分直线的斜率存在于不存在，进行分类讨论．当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用

MP

•

MQ

=0即可求得m值，从而解决问题．

解答：解：（1）∵点P满足||PF₁|-|PF₂||=2，
∴点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的双曲线．
∵F₂（-2，0），F₂（2，0），
∴c=2
∵a=1，∴b²=c²-a²=3
∴轨迹方程为x2-

y2

3

=1；
（2）假设存在点M（m，0），使得无论怎样转动，都有

MP

•

MQ

=0成立
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），与双曲线方程联立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，
∴

k2-3≠0 △＞0 x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1•x2= 4k2+3 k2-3 ＞0

解得k²＞3．
∵

MP

•

MQ

=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+m²+4k²
=

(k2+1)(4k2+3)

k2-3

-

4k2(2k2+m)

k2-3

+m2+4k2
=

3-(4m+5)k2

k2-3

+m2．
∵

MP

•

MQ

=0，
∴3（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0对任意的k²＞3恒成立，
∴

1-m2=0 m2-4m-5=0

，解得m=-1．
∴当m=-1时，

MP

•

MQ

=0．
当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知结论也成立，
综上，当m=-1时，

MP

•

MQ

=0．

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的综合应用，主要考查用待定系数法求双曲线的标准方程，利用两个向量的数量积公式及双曲线的性质解决具体问题，体现了分类讨论的数学思想．