Question

已知F₂（-2，0），F₂（2，0），点P满足||PF₁|-|PF₂||=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若过点F₂的直线l交轨迹E于P、Q两不同点．设点M（-1，0），问：当直线l绕点F₂转动的时候，是否都有

MP

•

MQ

=0？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由F₂（-2，0），F₂（2，0），点P满足||PF₁|-|PF₂||=2，知c=2，a=1，b²=3，由此能求出点P的轨迹E的方程．
（2）若l的斜率存在，设l的方程为：y=k（x-2），由

y=k(x-2) x2- y2 3 =1

，得：（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，由l与曲线交于不同点P，Q，知

3-k2≠0 △=16k4+4(3-k2)(4k2+3)＞0

，由此入手导出

MP

•

MQ

=0；若直线l的斜率存在，则P（2，3），Q（2，-3），M（-1，0），故

MP

•

MQ

=0成立．所以当直线l绕点F₂旋转时，均有

MP

•

MQ

=0得到结论．

解答：解：（1）∵F₂（-2，0），F₂（2，0），点P满足||PF₁|-|PF₂||=2，
∴c=2，a=1，b²=3，
∴点P的轨迹E的方程为：x2-

y2

3

=1．
（2）①若l的斜率存在，设l的方程为：y=k（x-2），
由

y=k(x-2) x2- y2 3 =1

，消y得：（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
∵l与曲线交于不同点P，Q，
∴

3-k2≠0 △=16k4+4(3-k2)(4k2+3)＞0

，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

4k2

k2-3

，x1x2=

4k2+3

k2-3

，
y1y2=k2[x1x2-2(x1+x2 )+4]，
∵M（-1，0），
∴

MP

•

MQ

=(x1+1，y1)•(x2+1，y2)
=（k²+1）x₁x₂-（2k²-1）（x₁+x₂）+1+4k²=0．
②若直线l的斜率存在，则P（2，3），Q（2，-3），M（-1，0），
∴

MP

•

MQ

=0成立，
故当直线l绕点F₂旋转时，均有

MP

•

MQ

=0．

点评：本题考查轨迹方程的求法，探索当直线绕点转动的时候，是否都有向量的数量积为零．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．