Question

已知函数f（x）=

x2

1+x2

（1）求f（2），f（

1

2

），f（3），f（

1

3

）
（2）由（1）中求得结果，你能发现f（x）与f（

1

x

）有什么关系？并证明你的发现；
（3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2011

）

Answer 1

分析：（1）由f（x）=

x2

1+x2

即可求得f（2），f（

1

2

），f（3），f（

1

3

）；
（2）根据f（2）+f（

1

2

）=1，f（3）+f（

1

3

）=1可得f（x）+f（

1

x

）=1，然后代入解析式进行证明即可；
（3）根据f（x）+f（

1

x

）=1，从而可求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2011

）的值．

解答：解：（1）f（2）=

4

5

，f（

1

2

）=

1

5

f（3）=

9

10

，f（

1

3

）=

1

10

（2）f（x）+f（

1

x

）=1
证：f（x）+f（

1

x

）=

x2

1+x2

+

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

x2

1+x2

+

1

1+x2

=1
（3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2011

）
=f（1）+[f（2）+f（

1

2

）]+[f（3）+f（

1

3

）]+…+[f（2011）+f（

1

2011

）]
=

1

2

+2010
=2010.5

点评：本题考查函数的值，考查数列的求和，求得f（x）+f（

1

x

）=1是关键，考查分析、转化与运算能力，属于中档题．