Question

已知函数y=

1

2

sin（3x+

π

6

）+1．
（1）求y取最大值和最小值时相应的x的值；
（2）求函数的单调递增区间和单调递减区间；
（3）它的图象可以由正弦曲线经过怎样的图形变换所得出？

Answer 1

分析：（1）由3x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z，和 3x+

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈z，求得x的值，即为所求． 
（2）由 2kπ-

π

2

≤3x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即得函数的增区间；由2kπ+

π

2

≤3x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，
k∈z，求得x的范围，即得函数的减区间．
（3）先将y=sinx上每一点的横坐标变为原来的

1

3

，再将所得图象向左平移

π

18

个单位，然后将所得图象上每一点的纵坐标变为原来的

1

2

，再把所得图象向上平移一个单位，即可得到y=

1

2

sin（3x+

π

6

）+1的图象．

解答：解：（1）由3x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z，可得x=

2

3

kπ+

π

9

（k∈Z）； 此时，y取最大值．
由3x+

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈z，可得x=

2

3

kπ-

2π

9

，（k∈Z），此时，y取最小值．
综上，可得y取最大值时，相应的x的值为x=

2

3

kπ+

π

9

（k∈Z）；y取最小值时，相应的x的值为x=

2

3

kπ-

2π

9

，k∈Z．
（2）由 2kπ-

π

2

≤3x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得

2

3

kπ-

2π

9

≤x≤

2

3

kπ+

π

9

，
故函数单调递增区间为[

2

3

kπ-

2π

9

，

2

3

kπ+

π

9

]（k∈Z）．
由 2kπ+

π

2

≤3x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得

2

3

kπ+

π

9

≤x≤

2

3

kπ+

4π

9

，
故函数单调递减区间为[

2

3

kπ+

π

9

，

2

3

kπ+

4π

9

]（k∈Z）；
（3）先将正弦曲线上每一点的横坐标变为原来的

1

3

（纵坐标不变），得到y=

1

2

 sin3x 的图象．
再将所得图象向左平移

π

18

个单位，然后将所得图象上每一点的纵坐标变为原来的

1

2

（横坐标不变），
得到y=

1

2

sin（3x+

π

6

）的图象．
最后将所得图象向上平移一个单位，即可得到y=

1

2

sin（3x+

π

6

）+1的图象．

点评：本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象变换，求三角函数的单调区间和最值的方法，属于中档题．