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数列{a
n
}是首项a
1
=4的等比数列,s
n
为其前n项和,且S
3
,S
2
,S
4
成等差数列.
(I)求数列{a
n
}的通项公式;
(II)若b
n
=log
2
|a
n
|,设T
n
为数列{
1
b
n
b
n+1
}的前n项和,求证T
n
<
1
2
.
试题答案
相关练习册答案
分析:
(I)设等比数列{a
n
}的公比为q,先看当q=1时,S
3
,S
2
,S
4
不成等差数列,不符合题意,判断出q≠1,进而根据等比数列求和公式表示出S
3
,S
2
,S
4
,根据等差中项的性质建立等式,求得q,则数列{a
n
}的通项公式可得.
(Ⅱ)把(1)中的a
n
代入b
n
=,进而利用裂项法求得前n项的和,根据
T
n
=
1
2
-
1
n+2
<
1
2
.
原式得证.
解答:
解:(I)设等比数列{a
n
}的公比为q.
当q=1时,S
3
=12,S
2
=8,S
4
=16,不成等差数列
∴q≠1,
S
3
=
4(1-
q
3
)
1-q
,
S
2
=
4(1-
q
2
)
1-q
,
S
4
=
4(1-
q
4
)
1-q
2S
2
=S
3
+S
4
,
∴
8(1-
q
2
)
1-q
=
4(1-
q
3
)
1-q
+
4(1-
q
4
)
1-q
,
即q
4
+q
3
-2q
2
=0.∵q≠0,q≠1,∴q=-2,
∴a
n
=4(-2)
n-1
=(-2)
n+1
(Ⅱ)b
n
=log
2
|a
n
|=log
2
|(-2)
n+1
|=n+1,
∴
1
b
n
b
n+1
=
1
(n+1)(n+2)
=
1
n+1
-
1
n+2
∴
T
n
=
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
++
1
n+1
-
1
n+2
,
∴
T
n
=
1
2
-
1
n+2
<
1
2
.
点评:
本题主要考查了数列的求和.应熟练掌握常用的数列求和的方法,如公式法,错位相减法,裂项法等.
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1
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3
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6
+a
9
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B.-1
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n
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1
)+f(a
2
)+…+f(a
2008
)的值为( )
A.0
B.2008
C.-2008
D.1004
(2012•静安区一模)已知a>0且a≠1,数列{a
n
}是首项与公比均为a的等比数列,数列{b
n
}满足b
n
=a
n
•lga
n
(n∈N
*
).
(1)若a=2,求数列{b
n
}的前n项和S
n
;
(2)若对于n∈N
*
,总有b
n
<b
n+1
,求a的取值范围.
(2013•杭州二模)设数列{a
n
}是首项为1的等比数列,若
{
1
2
a
n
+
a
n+1
}
是等差数列,则
(
1
2
a
1
+
1
a
2
)+(
1
2
a
2
+
1
a
3
)
+…+(
1
2
a
2012
+
1
a
2013
)
的值等于( )
A.2012
B.2013
C.3018
D.3019
关 闭
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