题目内容

已知函数 $数学公式$ 的定义域为 $数学公式$ ，值域为[-5，4]．试求函数g（x）=msinx+2ncosx（x∈R）的最小正周期和最值．

解： $\text{[math]}$ +m+n $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
当m＞0时，f（x）_max= $\text{[math]}$ ，f（x）_min=-m+n=-5
解得m=3，n=-2，
从而，g（x）=3sinx-4cosx=5sin（x+φ）（x∈R），
T=2π，最大值为5，最小值为-5；
当m＜0时，解得m=-3，n=1，
从而， $\text{[math]}$ ，T=2π，最大值为 $\text{[math]}$ ，
最小值为 $\text{[math]}$ ．
分析：由辅助解公式，正弦型函数的性质，根据函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，值域为[-5，4]．我们易构造关于m，n的方程组，解方程组即可得到函数g（x）=msinx+2ncosx的解析式，进而得到函数g（x）=msinx+2ncosx（x∈R）的最小正周期和最值．
点评：本题考查三角函数的运算．考查的知识点有和差化积、周期与三角函数值域的求法、分类讨论的思想方法．近几年三角运算一直是考试所要求的基本题型之一，本题就是基于这一要求而制定的．