Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+

3

2

）=-f（x），且函数y=f（x-

3

4

）是奇函数，给出以下四个命题：
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）的图象关于点（-

3

4

，0）对称；
③函数f（x）是偶函数；
④函数f（x）在R上是单调函数．
在上述四个命题中，正确命题的序号是

 

（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：题目中条件：f（x+

3

2

）=-f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．

解答：解：对于①：∵f（x+3）=-f（x+

3

2

）=f（x）∴函数f（x）是周期函数且其周期为3．①对
对于②：∵y=f（x-

3

4

）是奇函数∴其图象关于原点对称
又∵函数f（x）的图象是由y=f（x-

3

4

）向左平移

3

4

个单位长度得到．
∴函数f（x）的图象关于点（-

3

4

，0）对称，故②对．
对于③：由②知，对于任意的x∈R，都有f（-

3

4

-x）=-f（-

3

4

+x），用

3

4

+x换x，可得：f（-

3

2

-x）+f（x）=0
∴f（-

3

2

-x）=-f（x）=f（x+

3

2

）对于任意的x∈R都成立．
令t=

3

2

+x，则f（-t）=f（t），∴函数f（x）是偶函数，③对．
对于④：∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f（x）在R上不是单调函数，④不对．
故答案为：①②③．

点评：本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．是中档题．