Question

已知函数f（x）=|x|（x-a）（a∈R）．
（1）当a=-3时，解不等式f（x）≤0；
（2）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（3）a≤0时，求函数f（x）在闭区间[-1，

1

2

]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）当a=-3时，不等式f（x）≤0等价于|x|（x+3）≤0，由此可得不等式的解集；
（2）作出函数的图象，即可得到函数f（x）的单调区间；
（3）a≤0时，作出函数的图象，半径函数值的大小，即可求得结论．

解答：解：（1）当a=-3时，不等式f（x）≤0等价于|x|（x+3）≤0
∴x+3≤0或x=0
∴不等式的解集为{x|x≤-3或x=0}；
（2）当a=2时，f（x）=|x|（x-2）=

x(x-2)，x≥0 -x(x-2)，x＜0

图象如图所示

∴函数的单调递增区间是（-∞，0），（1，+∞），单调递减区间是（0，1）；
（3）a≤0时，函数f（x）=|x|（x-a）=

x(x-a)，x≥0 -x(x-a)，x＜0

图象如图所示

则∵f（-1）=-1-a，f（

a

2

）=

a2

4

，f（

1

2

）=

1

4

-

a

2

∴a＜-1-

2

时，f（x）_max=

1

4

-

a

2

；-1-

2

≤a≤0时，f（x）_max=

a2

4

点评：本题考查解不等式，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确作出函数的图象．