Question

（本小题满分12分）

 

已知实轴长为，虚轴长为的双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，且原点、点和点）使等式成立.

   （I）求双曲线的方程；

   （II）若双曲线上存在两个点关于直线对称，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

 

解：（I）根据题意设双曲线的方程为  …………2分

且,  解方程组得

所求双曲线的方程为        …………6分

 （II）当时，双曲线上显然不存在两个点关于直线对称；

                …………7分

当时，设又曲线上的两点M、N关于直线对称，.

设直线MN的方程为则M、N两点的坐标满足方程组

 ,  消去得

显然  即

设线段MN中点为  则.

在直线 ………10分

即 

 

  即

的取值范围是.  …………12分

 

【解析】略