Question

已知函数f(x)=ax-lnx，g(x)=

b

x

+clnx，(a，b，c均为非零常数)．
（1）若y=1是曲线y=f（x）的切线，函数g（x）在点（1，g（1））处取得极值1，求a，b，c的值；
（2）证明：1-

1

x

≤lnx≤x-1；
（3）若a+b=0，c=1，h（x）=g（x）-f（x），且函数h（x）在[1，e]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设切点坐标为（x₀，y₀），由f′(x)=a-

1

x

，解得f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，x＞0，再由g（x）在点（1g（x））处取得极值1，能求出a，b，c．
（2）由（1）知g(x)=

1

x

+lnx，x＞0，g′(x)=

x-1

x2

．令g′（x）=0，得x=1，由此能够证明1-

1

x

≤lnx≤x-1．
（3）由a+b=0，c=1得h(x)=g(x)-f(x)=2lnx-

a

x

-ax，x＞0，故h′(x)=

2

x

+

a

x2

-a=

-ax2+2x+a

x2

．由函数h（x）在[1，e]上单调递增，知h′（x）≥0在[1，e]上恒成立，即-ax²+2x+a≥0在[1，e]上恒成立，由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）设切点坐标为（x₀，y₀），
∵f′(x)=a-

1

x

，∴

a- 1 x0 =0 y0=1 y0=ax0-lnx0

，
解得x₀=1，a=1，则f（x）=x-lnx，x＞0，
∴f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，x＞0，
令f′（x）=0，得x=1，
由f′（x）＞0，得x＞1，
由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）≥[f（x）]_min=f（1）=1，
即lnx≤x-1．
∵g（x）在点（1g（x））处取得极值1，且g′(x)=-

b

x2

+

c

x

，
∴

g′(1)=0 g′(1)=1

得b=1，c=1，
所以a=1，b=1，c=1．
（2）由（1）知g(x)=

1

x

+lnx，x＞0，g′(x)=

x-1

x2

．
令g′（x）=0，得x=1，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
故g（x）≥g（x）_min=g（1）=1
即lnx≥1-

1

x

．
综上：1-

1

x

≤lnx≤x-1．
（3）由a+b=0，c=1得h(x)=g(x)-f(x)=2lnx-

a

x

-ax，x＞0，
则h′(x)=

2

x

+

a

x2

-a=

-ax2+2x+a

x2

．
由函数h（x）在[1，e]上单调递增，
知h′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
即-ax²+2x+a≥0在[1，e]上恒成立，
当x=1时，-ax²+2x+a=2≥0
当x∈(1，e]时，有a≤

2x

x2-1

=

2

x- 1 x

，
∵x-

1

x

在(1，e]上单调递增，
∴

2x

x2-1

在(1，e]上单调递减，
∴a≤(

2x

x2-1

)min=

2e

e2-1

，且a≠0，
∴实数a的取值范围是(-∞，0)∪(0，

，2e

e2-1

]．

点评：本题考查函数的导数的性质的合理运用，考查不等式的证明，考查实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．