Question

【题目】设a，b＞0，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】证明：证法一（分析法）：要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立．

只需证（a＋b）（a2－ab＋b2）＞ab（a＋b）成立，又因为a＋b＞0，

所以只需证a2－ab＋b2＞ab成立，只需证a2－2ab＋b2＞0成立，

即需证（a－b）2＞0成立．而a≠b，则（a－b）2＞0显然成立．

由此命题得证．

证法二（综合法）：a≠ba－b≠0（a－b）2＞0a2－2ab＋b2＞0a2－ab＋b2＞ab.注意到a，b∈R＋，a＋b＞0，可得（a＋b）（a2－ab＋b2）＞ab（a＋b），∴a3＋b3＞a2b＋ab2.