题目内容
【题目】在如图所示的几何体中， 
， 
， 
平面
，在平行四边形
中， 
， 
， 
．
（1）求证： 
平面
；
（2）求二面角
的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】【试题分析】（1）连接
交
于
，取
中点
，连接
， 
，利用中位线证明
，四边形
为平行四边形，从而
，由此证得
平面
.（2）以
为原点， 
， 
， 
的方向为
轴， 
轴， 
轴的正方向建立空间直角坐标系，通过计算平面
和平面
的法向量来求二面角的余弦值.
【试题解析】
（1）证明：连接
交
于
，取
中点
，连接
， 
，
因为
， 
，又
， 
所以
， 
，从而
， 
平面
， 
平面
，
所以
平面
．
（2）在平行四边形
中，由于
， 
， 
，则
，又
平面
，则以
为原点， 
， 
， 
的方向为
轴， 
轴， 
轴的正方向建立空间直角坐标系
，则
， 
， 
， 
， 
，
则
， 
， 
，
设平面
的一个法向量为
，
则由
令
，得
， 
，所以
，
，设平面
的一个法向量为
，
则由
即
令
，得
， 
，所以
，
，所以
，
所以所求二面角的余弦值为
．
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