Question

【题目】如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥ AB，M是EC上的点（不与端点重合），F为DA上的点，N为BE的中点．

（Ⅰ）若M是EC的中点，AF=3FD，求证：FN∥平面MBD；
（Ⅱ）若平面MBD与平面ABD所成角（锐角）的余弦值为 ，试确定点M在EC上的位置．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：如图，
∵DA⊥平面EAB，∴DA⊥AE，DA⊥AB，又EA⊥AB，
∴以A为原点，分别以AE、AB、AD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设CB=4，由CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，N为BE的中点，M是EC的中点，AF=3FD，
得F（0，0，6），N（4，4，0），M（4，4，2），B（0，8，0），D（0，0，8），
C（0，8，4），E（8，0，0）．
∴ ， ， ．
设平面MBD的一个法向量为 ，
由 ，取z=1，得 ．
∵ = ，∴ ，则FN∥平面MBD；
（Ⅱ）解：设 ，M（x1 ， y1 ， z1），
则 =（x1 ， y1﹣8，z1﹣4）， ，
∴（x1 ， y1﹣8，z1﹣4）=（8λ，﹣8λ，﹣4λ），
∴ ，得M（8λ，8﹣8λ，4﹣4λ），
∴ ．
设平面BDM的一个法向量为 ，
由 ，取z2=1，得 ．
平面ABD的一个法向量为 ，
由|cos＜ ＞|=| |=| |= ，得8λ2﹣6λ+1=0，
解得 或 ．
∵平面MBD与平面ABD所成角（锐角）的余弦值为 ，∴ ，即M为EC中点．
【解析】（Ⅰ）由题意可得AE、AB、AD两两垂直，以A为原点，分别以AE、AB、AD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出 的坐标，再求出平面MBD的一个法向量 ，由 可得FN∥平面MBD；（Ⅱ）设 ，把M的坐标用λ表示，求出平面BDM的一个法向量，再求出平面ABD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值的绝对值为 求得λ值，则答案可求．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．