题目内容
【题目】曲线C上的动点M到定点F(1,0)的距离和它到定直线x=3的距离之比是1: .
(1)求曲线C的方程;
(2)过点F(1,0)的直线l与C交于A,B两点,当△ABO面积为 时,求直线l的方程.
【答案】
(1)解:设M(x,y)
由题意可得, ,
整理得 ,
则曲线C的方程为 ;
(2)解:当l斜率不存在时,l方程为x=1,
此时l与C的交点分别为 ,
,
即有 ,
则 ,
由直线l斜率存在,设l方程为y=k(x﹣1),
由 ,
得 ,
,
∴ .
设O到l的距离为d,则 ,
∴ ,
解得k=±1.
综上所述,当△ABO面积为 时,l的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1.
【解析】(1)设M(x,y),运用两点的距离公式和点到直线的距离公式,化简整理即可得到所求方程;(2)当l斜率不存在时,l方程为x=1,求得A,B的坐标,以及△ABO的面积;由直线l斜率存在,设l方程为y=k(x﹣1),代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,以及点到直线的距离公式,解方程可得斜率k,进而得到所求直线的方程.

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