题目内容

在平面直角坐标系中,已知点,点P是动点,且三角形的三边所在直线
的斜率满足

(1)求点P的轨迹的方程;
(2)设Q是轨迹上异于点的一个点,若,直线交于点M,探究是否存点P使得的面积满足,若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
解:(1)设点为所求轨迹上的任意一点,由得,

整理得的方程为)。……4分(注:不写范围扣1分)
(2)解法一、设
,即, ………6分
三点共线,共线,∴
由(1)知,故,         ………8分
同理,由共线,
,即
由(1)知,故,…………9分
代入上式得
整理得,由,        …………11分
,得到,因为,所以
,得,  ∴的坐标为.          …………14分
解法二、设
,即,                          ………6分
∴直线OP方程为:   ①;                            …………8分
直线QA的斜率为:,            
∴直线QA方程为:,即, ②  …10分
联立①②,得,∴点M的横坐标为定值。…………11分
,得到,因为,所以
,得,  ∴的坐标为.          …………14分
考查向量知识在几何中的运用,实际上就是用坐标表示向量,再进行运算;(Ⅱ)的关键是确定出点M的横坐标为定值.
(Ⅰ)设点P(x,y)为所求轨迹上的任意一点,则由kOP+kOA=kPA得从而就可以得到轨迹C的方程;
(2)设出点PQ,M的坐标,然后利用三点共线得到坐标关系,进而再由面积得到点P的坐标。
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