Question

如图在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，E、F、G分别为AC，AA₁，AB的中点．
①求证：B₁C₁∥平面EFG；
②求FG与AC₁所成的角；
③求三棱锥B₁--EFG的体积．

Answer 1

分析：①欲证B₁C₁∥平面EFG，只需在平面EFG内找一直线与B₁C₁平行，E，F为△AB，AC中点，则GE∥BC，从而B₁C₁∥GE，而GE?平面GEF，B₁C₁?平面GEF，满足线面平行的判定定理所需条件；
②取A₁C₁的中点M，连接MF，GM，根据中位线可知AC₁∥MF，则∠MFG为FG与AC₁所成的角，然后在三角形MGF中求出此角即可；
③C₁与B₁到平面EFG的距离相等则VB1-EFG=VC1-EFG=VG-C1EF，然后根据GE⊥平面C₁EF可知GE为高，最后根据锥体的体积公式解之即可．

解答：解：①E，F为△AB，AC中点，∴GE∥BC．
∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁∥GE，
∵GE?平面GEF，B₁C₁?平面GEF，
∴B₁C₁∥平面EFG  
②取A₁C₁的中点M，连接MF，GM，
根据中位线可知AC₁∥MF
∴∠MFG为FG与AC₁所成的角
∵MF=

2

，GF=

3

，MG=

5

∴∠MFG=90°
∴FG与AC₁所成的角为90°．
③∵B₁C₁∥平面EFG，∴C₁与B₁到平面EFG的距离相等．  
∴VB1-EFG=VC1-EFG=VG-C1EF
∵B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥C₁C₁，A₁C₁∩C₁C=C₁
∴B₁C₁⊥平面C₁CA₁
∵B₁C∥GE∴GE⊥平面C₁EF
∵GE=

1

2

BC=1，SC1EF=2×2-

1

2

(1×2+1×1+1×2)=

3

2

∴VB1-EFG=

1

3

×

3

2

=

1

2

点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及异面直线所成角和体积的度量，属于中档题．