题目内容
已知等差数列{an}中的两项a2，a2014是函数f（x）=
x3-3x2+ax（a为常数）的极值点，且a1008+a1009＜0，则使{an}的前n项和Sn取得最大值的n为（ ）
| 1 |
| 3 |
| A、1008 |
| B、1009 |
| C、1008，1009 |
| D、2014 |
考点：利用导数研究函数的极值,等差数列的性质
专题：导数的综合应用,等差数列与等比数列
分析：由极值点得方程f'（x）=0的两个实根，利用韦达定理得a2+a2014的值，再由等差中项的性质得a1008的值，结合条件a1008+a1009＜0进一步可探求项的正负，从而找到使Sn取得最大值的项．
解答：解：由f（x）得f'（x）=x2-6x+a，
∵a2，a2014是函数f（x）=
x3-3x2+ax的极值点，
∴a2，a2014是方程f'（x）=0的两个实根，
根据韦达定理，有a2+a2014=6，
由等差中项的性质得a2+a2014=2a1008=6，即a1008=3＞0，
∵a1008+a1009＜0，∴a1009＜0，
∴等差数列{an}为递减数列，且使{an}的前n项和Sn取得最大值的n为1008．
故选A．
∵a2，a2014是函数f（x）=
| 1 |
| 3 |
∴a2，a2014是方程f'（x）=0的两个实根，
根据韦达定理，有a2+a2014=6，
由等差中项的性质得a2+a2014=2a1008=6，即a1008=3＞0，
∵a1008+a1009＜0，∴a1009＜0，
∴等差数列{an}为递减数列，且使{an}的前n项和Sn取得最大值的n为1008．
故选A．
点评：1．对于可导函数f（x），若x=x0是f（x）的极值点，则必有f'（x0）=0；若存在x0，使得f'（x0）=0，则x=x0不一定是f（x）的极值点．
2．求等差数列{an}的前n项和Sn取得最大值的n，应考虑以下两个方面的问题：
（1）数列是递增数列还是递减数列（以递减数列居多）；
（2）数列中哪些项为正数项、负数项，是否存在某项为0的情况．
2．求等差数列{an}的前n项和Sn取得最大值的n，应考虑以下两个方面的问题：
（1）数列是递增数列还是递减数列（以递减数列居多）；
（2）数列中哪些项为正数项、负数项，是否存在某项为0的情况．
练习册系列答案
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|
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| D、对于任意x∈U，都有fP∪Q（x）≤fP（x）+fQ（x） |
双曲线C：
-
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| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
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| ||
| C、4 | ||
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|
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| x2 |
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| 1 |
| 3 |
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