题目内容
已知函数f(x)=ax2+4x-2,若对任意x1,x2∈R且x1≠x2,都有f(
)<
.
(1)求实数a的取值范围;
(2)对于给定的实数a,有一个最小的负数M(a),使得x∈[M(a),0]时,-4≤f(x)≤4都成立,则当a为何值时,M(a)最小,并求出M(a)的最小值.
x1+x2 |
2 |
f(x1)+f(x2) |
2 |
(1)求实数a的取值范围;
(2)对于给定的实数a,有一个最小的负数M(a),使得x∈[M(a),0]时,-4≤f(x)≤4都成立,则当a为何值时,M(a)最小,并求出M(a)的最小值.
(1)∵f(
)-
=a(
)2+b(
)+c-
=-
(x1-x2)2<0,
∵x1≠x2,∴a>0.∴实数a的取值范围为(0,+∞).
(2)∵f(x)=ax2+4x-2=a(x+
)2-2-
,
显然f(0)=-2,对称轴x=-
<0.
①当-2-
<-4,即0<a<2时,M(a)∈(-
,0),且f[M(a)]=-4.
令ax2+4x-2=-4,解得x=
,
此时M(a)取较大的根,即M(a)=
=
,
∵0<a<2,∴M(a)=
>-1.
②当-2-
≥-4,即a≥2时,M(a)<-
,且f[M(a)]=4.
令ax2+4x-2=4,解得x=
,
此时M(a)取较小的根,即M(a)=
=
,
∵a≥2,∴M(a)=
≥-3.当且仅当a=2时,取等号.
∵-3<-1∴当a=2时,M(a)取得最小值-3.
x1+x2 |
2 |
f(x1)+f(x2) |
2 |
=a(
x1+x2 |
2 |
x1+x2 |
2 |
ax12+bx1+c+ax22+bx2+c |
2 |
=-
a |
4 |
∵x1≠x2,∴a>0.∴实数a的取值范围为(0,+∞).
(2)∵f(x)=ax2+4x-2=a(x+
2 |
a |
4 |
a |
显然f(0)=-2,对称轴x=-
2 |
a |
①当-2-
4 |
a |
2 |
a |
令ax2+4x-2=-4,解得x=
-2±
| ||
a |
此时M(a)取较大的根,即M(a)=
-2+
| ||
a |
-2 | ||
|
∵0<a<2,∴M(a)=
-2 | ||
|
②当-2-
4 |
a |
2 |
a |
令ax2+4x-2=4,解得x=
-2±
| ||
a |
此时M(a)取较小的根,即M(a)=
-2-
| ||
a |
-6 | ||
|
∵a≥2,∴M(a)=
-6 | ||
|
∵-3<-1∴当a=2时,M(a)取得最小值-3.
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