Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，CA=CD= AB=1， =1，sin∠BCD= ．

（1）求BC的长；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）求sinD的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由条件，得AC=CD=1，AB=2．

∵ =1，∴1×2×cos∠BAC=1．则cos∠BAC= ．

∵∠BAC∈（0，π），∴∠BAC= ．

∴BC2=AB2+AC2﹣2ABACcos∠BAC=4+1﹣2×2× =3．

∴BC=

（2）解：由（1）得BC2+AC2=AB2．

∴∠ACB= ．

∴sin∠BCD= = ．

∵∠ACD∈∈（0，π），∴ ．

∴S△ACD= ×1×1× = ．

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=

（3）解：在△ACD中，

AD2=AC2+DC2﹣2ACDCcos∠ACD=1+1﹣2×1×1× = ．

∴AD= ．

∵ ，

∴

【解析】（1）根据题意可分别求得AC，CD和AB，利用 =1，利用向量的数量积的性质求得cos∠BAC的值，进而求得∠BAC，进而利用余弦定理求得BC的长．（2）根据（1）可求得BC2+AC2=AB2 ． 判断出∴∠ACB= ，进而在直角三角形中求得cos∠ACD的值，利用同角三角函数的基本关系气的sin∠ACD，然后利用三角形面积公式求得三角形ABC和ACD的面积，二者相加即可求得答案．（3）在△ACD中利用余弦定理求得AD的长，最后利用正弦定理求得sinD的值．